Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez les valeurs propres.

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Étape 1.1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$

Étape 1.2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$3$ est la matrice carrée

$3 \times 3$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 1.3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{3})$ .

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Étape 1.3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] - λ I_{3})$

Étape 1.3.2

Remplacez

$I_{3}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.5

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.6.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.6.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 1.4.1.2.9

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 1.4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3

Simplify each element.

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Étape 1.4.3.1

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.2

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.3

Additionnez

$- 56$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.4

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.5

Additionnez

$- 14$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.4.3.6

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 13 - λ & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 - λ & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 - λ \end{array}]$

Étape 1.5

Find the determinant.

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Étape 1.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(13 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$

Étape 1.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (13 - λ) | \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 13 - λ & - 4 \\ - 3 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (13 - λ) ((- 13 - λ) (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.1

Développez

$(- 13 - λ) (- 2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 (- 2 - λ) - λ (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 \cdot - 2 - 13 (- λ) - λ (- 2 - λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (- 13 \cdot - 2 - 13 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.1

Multipliez

$- 13$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 - 13 (- λ) - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 13$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ - λ \cdot - 2 - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.1.7

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 13 λ + 2 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.2.2

Additionnez

$13 λ$ et

$2 λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot - 4)) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3

Multipliez

$- (- 3 \cdot - 4)$ .

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Étape 1.5.2.2.1.3.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - 1 \cdot 12) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.1.3.2

Multipliez

$- 1$ par

$12$ .

$p (λ) = (13 - λ) (26 + 15 λ + λ^{2} - 12) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.2

Soustrayez

$12$ de

$26$ .

$p (λ) = (13 - λ) (15 λ + λ^{2} + 14) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.2.2.3

Remettez dans l’ordre

$15 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 | \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 56 & - 4 \\ - 14 & - 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 1.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (- 56 (- 2 - λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 1.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (- 56 \cdot - 2 - 56 (- λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.2

Multipliez

$- 56$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 - 56 (- λ) - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$- 56$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - (- 14 \cdot - 4)) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.4

Multipliez

$- (- 14 \cdot - 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.4.1

Multipliez

$- 14$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - 1 \cdot 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.1.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$56$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (112 + 56 λ - 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.3.2.2

Soustrayez

$56$ de

$112$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 | \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$

Étape 1.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 56 & - 13 - λ \\ - 14 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 56 \cdot - 3 - (- 14 (- 13 - λ)))$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.4.2.1.1

Multipliez

$- 56$ par

$- 3$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (- 14 (- 13 - λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (- 14 \cdot - 13 - 14 (- λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.3

Multipliez

$- 14$ par

$- 13$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (182 - 14 (- λ)))$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 14$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - (182 + 14 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 1 \cdot 182 - (14 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$182$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 182 - (14 λ))$

Étape 1.5.4.2.1.7

Multipliez

$14$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (168 - 182 - 14 λ)$

Étape 1.5.4.2.2

Soustrayez

$182$ de

$168$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 - 14 λ)$

Étape 1.5.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$- 14$ et

$- 14 λ$ .

$p (λ) = (13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14) - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.1.1

Développez

$(13 - λ) (λ^{2} + 15 λ + 14)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 13 (15 λ) + 13 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.5.1.2.1

Multipliez

$15$ par

$13$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 13 \cdot 14 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.2

Multipliez

$13$ par

$14$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ \cdot λ^{2} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - (λ^{2} λ) - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{2 + 1} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - λ (15 λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 λ \cdot λ - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 (λ \cdot λ) - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 1 \cdot 15 λ^{2} - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$15$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 15 λ^{2} - λ \cdot 14 - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.2.7

Multipliez

$14$ par

$- 1$ .

$p (λ) = 13 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 15 λ^{2} - 14 λ - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.3

Soustrayez

$15 λ^{2}$ de

$13 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 195 λ + 182 - λ^{3} - 14 λ - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.4

Soustrayez

$14 λ$ de

$195 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 3 (56 λ + 56) + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 3 (56 λ) - 3 \cdot 56 + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.6

Multipliez

$56$ par

$- 3$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 3 \cdot 56 + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.7

Multipliez

$- 3$ par

$56$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 168 + 1 (- 14 λ - 14)$

Étape 1.5.5.1.8

Multipliez

$- 14 λ - 14$ par

$1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 181 λ + 182 - λ^{3} - 168 λ - 168 - 14 λ - 14$

Étape 1.5.5.2

Soustrayez

$168 λ$ de

$181 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} + 13 λ + 182 - λ^{3} - 168 - 14 λ - 14$

Étape 1.5.5.3

Soustrayez

$14 λ$ de

$13 λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ + 182 - λ^{3} - 168 - 14$

Étape 1.5.5.4

Soustrayez

$168$ de

$182$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 14 - 14$

Étape 1.5.5.5

Associez les termes opposés dans

$- 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 14 - 14$ .

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Étape 1.5.5.5.1

Soustrayez

$14$ de

$14$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3} + 0$

Étape 1.5.5.5.2

Additionnez

$- 2 λ^{2} - λ - λ^{3}$ et

$0$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ - λ^{3}$

Étape 1.5.5.6

Déplacez

$- λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{2} - λ^{3} - λ$

Étape 1.5.5.7

Remettez dans l’ordre

$- 2 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$

Étape 1.6

Définissez le polynôme caractéristique égal à

$0$ pour déterminer les valeurs propres

$λ$ .

$- λ^{3} - 2 λ^{2} - λ = 0$

Étape 1.7

Résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.7.1.1

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ^{3} - 2 λ^{2} - λ$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ^{3}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - 2 λ^{2} - λ = 0$

Étape 1.7.1.1.2

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- 2 λ^{2}$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ = 0$

Étape 1.7.1.1.3

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ$ .

$- λ \cdot λ^{2} - λ (2 λ) - λ \cdot 1 = 0$

Étape 1.7.1.1.4

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ (λ^{2}) - λ (2 λ)$ .

$- λ (λ^{2} + 2 λ) - λ \cdot 1 = 0$

Étape 1.7.1.1.5

Factorisez

$- λ$ à partir de

$- λ (λ^{2} + 2 λ) - λ (1)$ .

$- λ (λ^{2} + 2 λ + 1) = 0$

Étape 1.7.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.7.1.2.1

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$- λ (λ^{2} + 2 λ + 1^{2}) = 0$

Étape 1.7.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Étape 1.7.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- λ (λ^{2} + 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.7.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où

$a = λ$ et

$b = 1$ .

$- λ {(λ + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$λ = 0$

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.7.3

Définissez

$λ$ égal à

$0$ .

$λ = 0$

Étape 1.7.4

Définissez

${(λ + 1)}^{2}$ égal à

$0$ et résolvez

$λ$ .

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Étape 1.7.4.1

Définissez

${(λ + 1)}^{2}$ égal à

$0$ .

${(λ + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.7.4.2

Résolvez

${(λ + 1)}^{2} = 0$ pour

$λ$ .

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Étape 1.7.4.2.1

Définissez le

$λ + 1$ égal à

$0$ .

$λ + 1 = 0$

Étape 1.7.4.2.2

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$λ = - 1$

Étape 1.7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$- λ {(λ + 1)}^{2} = 0$ vraie.

$λ = 0, - 1$

Étape 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Étape 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 0$ .

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Étape 3.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$0$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.4

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.5

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.6

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.7

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.8

Multipliez

$0$ par

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 3.2.1.2.9

Multipliez

$0$ par

$1$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 13 + 0 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2

Simplify each element.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez

$13$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.3

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.4

Additionnez

$- 56$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 + 0 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.5

Additionnez

$- 13$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.7

Additionnez

$- 14$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.8

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 + 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2.2.9

Additionnez

$- 2$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}]$

Étape 3.3

Find the null space when

$λ = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 & 0 \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{13}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{13}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{13}{13} & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & \frac{0}{13} \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 56 & - 13 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 56 + 56 \cdot 1 & - 13 + 56 (\frac{3}{13}) & - 4 + 56 (\frac{1}{13}) & 0 + 56 \cdot 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ - 14 & - 3 & - 2 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ - 14 + 14 \cdot 1 & - 3 + 14 (\frac{3}{13}) & - 2 + 14 (\frac{1}{13}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{13} & \frac{4}{13} & 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- 13$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.4.1

Multiply each element of

$R_{2}$ by

$- 13$ to make the entry at

$2, 2$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ - 13 \cdot 0 & - 13 (- \frac{1}{13}) & - 13 (\frac{4}{13}) & - 13 \cdot 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.4.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & \frac{3}{13} & - \frac{12}{13} & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at

$3, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 & \frac{3}{13} - \frac{3}{13} \cdot 1 & - \frac{12}{13} - \frac{3}{13} \cdot - 4 & 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.5.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{13} & \frac{1}{13} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.6.1

Perform the row operation

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{13} R_{2}$ to make the entry at

$1, 2$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{13} \cdot 0 & \frac{3}{13} - \frac{3}{13} \cdot 1 & \frac{1}{13} - \frac{3}{13} \cdot - 4 & 0 - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2.6.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y - 4 z = 0$

$0 = 0$

Étape 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ 4 z \\ z \end{array}]$

Étape 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}]$

Étape 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Étape 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez les valeurs connues dans la formule.

$N ([\begin{array}{c} 13 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Additionnez les éléments correspondants.

$[\begin{array}{c} 13 + 1 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplify each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez

$13$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 + 0 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.2

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 + 0 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.3

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 + 0 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.4

Additionnez

$- 56$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 13 + 1 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.5

Additionnez

$- 13$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 + 0 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.6

Additionnez

$- 4$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 + 0 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.7

Additionnez

$- 14$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 + 0 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.8

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 2 + 1 \end{array}]$

Étape 4.2.2.9

Additionnez

$- 2$ et

$1$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 \\ - 56 & - 12 & - 4 \\ - 14 & - 3 & - 1 \end{array}]$

Étape 4.3

Find the null space when

$λ = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 14 & 3 & 1 & 0 \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{14}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$\frac{1}{14}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{14}{14} & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & \frac{0}{14} \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ - 56 & - 12 & - 4 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 56 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ - 56 + 56 \cdot 1 & - 12 + 56 (\frac{3}{14}) & - 4 + 56 (\frac{1}{14}) & 0 + 56 \cdot 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 14 & - 3 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.3.1

Perform the row operation

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{1}$ to make the entry at

$3, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ - 14 + 14 \cdot 1 & - 3 + 14 (\frac{3}{14}) & - 1 + 14 (\frac{1}{14}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2.3.2

Simplifiez

$R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{14} & \frac{1}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{3}{14} y + \frac{1}{14} z = 0$

$0 = 0$

Étape 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3 y}{14} - \frac{z}{14} \\ y \\ z \end{array}]$

Étape 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Étape 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}] + z [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | y, z \in R}$

Étape 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Étape 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 4 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{3}{14} \\ 1 \\ 0 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{14} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$